Indico o Generator Hostel Copenhagen, sempre tem gente interessante por lá e fica perto de alguns pontos turísticos famosos.

Além das dicas que vc já recebeu, vá também dar uma volta por Christiania, o bairro hippie. Fica perto da Vor Frelsers Kirke 

Se for fazer o Canal Tour saindo de Nyhavn, não pegue os barcos que saem diretamente da entrada. Pela lateral do canal há outros bem mais em conta e que fazem o mesmo percurso.

Além do Tivoli, tente visitar também o Bakken, que é o parque de diversões mais antigo do país.